درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی

در دایره‌های زیر به شعاع $r$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع و یک مربع به گونه‌ای رسم شده‌اند که رأس‌های آنها روی دایره واقع‌اند. چنین چند ضلعی‌هایی را محاطی می‌نامیم. واضح است که مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع و مساحت مربع از مساحت دایره کمتر است.

حدس می‌زنید مساحت کدام یک به مساحت دایره نزدیک‌تر است؟ هرچه تعداد اضلاع چند ضلعی‌های منتظم محاطی بیشتر شوند، چه اتفاقی می‌افتد؟

در جدول زیر مساحت تعدادی از $n$ ضلعی‌های منتظم محاطی به شعاع $r$ (دقت یک رقم اعشار) داده شده است.

برای نزدیک‌تر شدن مساحت چند ضلعی‌های منتظم محاطی به مساحت دایره چه می‌توان کرد؟ آیا به هر میزان که بخواهیم می‌توانیم مساحت چند ضلعی‌های منتظم را به مساحت دایره نزدیک کنیم؟

زیاد شدن تعداد اضلاع $\to $	12	.....	7	6	5	4	3	چند ضلعی منتظم محاطی
نزدیک‌تر شدن مساحت $\to $ چند ضلعی‌ها به مساحت ………	$3{{r}^{2}}$	.....	$2/8{{r}^{2}}$	$2/6{{r}^{2}}$	$2/38{{r}^{2}}$	$2{{r}^{2}}$	$1/3{{r}^{2}}$	مساحت تقریبی

مربع $ABCD$ به ضلع 4 واحد را در نظر می‌گیریم. پاره‌خط $MN$ وسط $AB$ را به وسط $DC$ وصل می‌کند. مساحت مستطیل $AMND$ چقدر است؟ به موازات $MN$ پاره‌خط‌هایی رسم می‌کنیم که مانند شکل، نقاط انتهایی آنها روی $AB$ و $CD$ است. مساحت مستطیل‌های جدید پدید آمده، در جدول داده شده است. جاهای خالی را پر کنید (طول مستطیل‌ها برابر 4 واحد است).

عرض مستطیل‌ها با مقادیر کمتر از 3، به 3 نزدیک می‌شود.	2/99	2/9	2/8	2/7	2/5	2/1	2	عرض مستطیل‌ها
مساحت به عدد …… نزدیک می‌شود.			11/2			8/4	8	مساحت مستطیل رنگی

مشابه همین کار را با شروع از پاره‌خط $BC$ انجام می‌دهیم. پاره‌خط‌هایی که به موازات $BC$ رسم می‌شوند، همانند شکل زیر، مستطیل‌های جدیدی را می‌سازند. جدول را کامل کنید.

عرض مستطیل‌ها با مقادیر بیشتر از 3، به 3 نزدیک می‌شود.	3/01	3/1	3/2	3/5	3/9	4	عرض مستطیل‌ها
مساحت به عدد …… نزدیک می‌شود.			12/8	14	15/6	16	مساحت مستطیل رنگی

اگر طول مستطیل ها را 4 و عرض آنها را $x$ در نظر بگیریم، مساحت مستطیل‌ها را می‌توان به‌صورت تابع $f(x)=4x$ نمایش داد. با این تفاوت که در حالت اول $x$، با مقادیر کمتر از عدد 3، به سمت عدد 3 نزدیک می‌شود و در حالت دوم $x$، با مقادیر بیشتر از عدد 3 به سمت عدد 3 نزدیک می‌شود. این دو وضعیت را به ترتیب با نمادهای $x\to {{3}^{-}}$ و $x\to {{3}^{+}}$ نمایش می‌دهیم. خلاصهٔ دو جدول قبل در جدول زیر ارائه شده است:

$x$ از سمت راست به 3 نزدیک می‌شود
$x$ از سمت چپ به 3 نزدیک می‌شود

4

3/9

3/5

3/2

3/1

3/01

$\to 3\leftarrow $

2/99

2/9

2/8

2/5

2/1

2

$x$

16

$\to 12\leftarrow $

8/4

8

$f(x)$

$f(x)$ به 12 نزدیک می‌شود
$f(x)$ به 12 نزدیک می‌شود

وقتی $x\to {{3}^{+}}$ گوییم $x$ از راست به 3 نزدیک می‌شود و وقتی $x\to {{3}^{-}}$ می‌گوییم $x$ از چپ به 3 نزدیک می‌شود. در حقیقت رفتار تابع در نزدیکی نقطه 3 بررسی شده است.

مثال: نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 1 \hfill \\
   - x + 5\,\,\,\,\,x \gt 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$ رسم شده است.

جدول زیر را کامل کنید و با استفاده از آن و به کمک نمودار $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)$ را محاسبه کنید.

$x$ از سمت راست به 1 نزدیک می‌شود
$x$ از سمت چپ به 1 نزدیک می‌شود

2

1/8

1/5

1/2

1/1

....

$ \to 1 \leftarrow $

0/99

0/9

....

0/5

0/2

0

$x$

....

3/2

3/5

....

3/9

3/99

$4 \leftarrow $

$ \to 2$

....

1/8

1/6

....

0/4

0

$f(x)$

$f(x)$ به 4 نزدیک می‌شود
$f(x)$ به 2 نزدیک می‌شود

به عبارت دیگر حد تابع وقتی $x$ از سمت چپ به 1 نزدیک می‌شود، برابر 2 است؛ یعنی: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 2$ و حد تابع وقتی $x$ از سمت راست به 1 نزدیک می‌شود، برابر 4 است یعنی: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 4$. در این مثال حد راست و حد چپ هر دو وجود دارند؛ ولی باهم برابر نیستند. تابع در نقطهٔ $x = 1$ حد ندارد، ولی حدهای یک طرفه (حد راست و حد چپ) وجود دارند.

بسیاری از پدیده‌های طبیعی قابل ارائه در قالب یک تابع‌اند. در بسیاری از مواقع لازم است رفتار یک تابع را در نزدیکی یک نقطه بررسی کنیم. در فعالیت زیر رفتار سه تابع را در نزدیکی یک نقطه بررسی خواهیم کرد تا با مفهوم حد بهتر آشنا شویم.

نمودار توابع زیر رسم شده‌اند:

$f(x) = 2x - 1$

$g(x) = \left\{ \begin{gathered}
  2x - 1\,\,\,\,\,\,x \ne 4 \hfill \\
  5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 4 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

$h(x) = 2x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,(x \ne 4)$

هر نمودار به کدام تابع تعلق دارد؟ آیا این سه تابع با یکدیگر برابرند؟ دامنه و برد این سه تابع را معلوم کنید.

می‌خواهیم رفتار این سه تابع را در نزدیکی نقطهٔ 4 بررسی کنیم. ابتدا جدول را کامل کنید.

$x$ از سمت راست به 4 نزدیک می‌شود
$x$ از سمت چپ به 4 نزدیک می‌شود

5	4/5	4/2	4/1	4/01	$ \to 4 \leftarrow $	3/99	3/99	3/8	3/5	3	$x$
9	8	7/4			$ \to 7 \leftarrow $			6/6	6	5	$f(x)$
					$ \to  \leftarrow $						$g(x)$
					$ \to  \leftarrow $						$h(x)$

مقادیر $f$، $g$ و $h$ را به هر اندازه که بخواهیم می‌توانیم به عدد … نزدیک کنیم؛ به شرط آنکه مقادیر $x$ به قدر کافی به عدد … نزدیک شود. حد هر سه تابع وقتی که $x \to 4$ (بخوانید $x$ به سمت 4 میل می‌کند) برابر … است. به عبارت دیگر:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g(x) = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} h(x) = $

در فعالیت قبل مشاهده کردید که سه تابع $f$، $g$ و $h$ در نزدیکی نقطهٔ $x = 4$ رفتار یکسانی دارند. به عبارت دیگر حد آنها وقتی $x$ به 4 نزدیک می‌شود، برابر 7 است. با این حال دربارهٔ مقادیر این سه تابع در نقطه 4 داریم:

الف) $h(4)$ وجود ندارد ($h$ در 4 تعریف نشده است).
ب) $g(4)$ موجود است؛ ولی $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g(x) \ne g(4)$.
پ) $f(4) = 7$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = 7$.

مثال 1: در شکل زیر نمودار تابع $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
   - 2x + 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 2 \hfill \\
  {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, -  \leqslant x \lt 2 \hfill \\
  2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt  - 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$ رسم شده است.

الف) $f(2)$ تعریف نشده است؛ ولی $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 4$
ب) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f(x) = 1$ ولی $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f(x)$ وجود ندارد.
پ) $f( - 1) = 1$.
ت) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0$ و $f(0) = 0$.
ث) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = 0$ و $f(4) = 0$.
ج) $f( - 3)$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} f(x)$ وجود ندارند؛ ولی $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} f(x) = 2$

مثال 2: برای تابع $g(x) = \sqrt x $ داریم:

الف) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x  = 0$
ب) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \sqrt x $ وجود ندارد؛ زیرا تابع برای $x \lt 0$ تعریف نشده است.
پ) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt x $ وجود ندارد.